Week4 - Karnaugh Maps

Karnaugh Maps

เป็นวิธีการลดรูปวงจร Logic gate ที่ง่ายกว่าการใช้ Boolean algebra
ตัวอย่างการใช้

การหาผลลัพท์

หลักการมีอยู่ว่าวงกลมเลขใน ด้าน-บน-ล่าง-ซ้าย-ขวา  ห้ามวงกลมในแนวทแยงเด็ดขาด

ตามตัวอย่างด้านล่าง

และต้องวง จำนวน 2n โดยไม่มีเลข ‘0’ อยู่ด้วย

ตัวอย่าง

เมื่อเรามี input 3 แบบ K-map เราจะได้ ดังตัวอย่าข้างร่าง

K-map แบบ 4 ตัวแปร

week3 - Sum-of-products (SOP) & Product-of-Sums (POS)

Sum-of-products (SOP)

  คือ การทำBoolean expression ในรปของการ ู บวกกันของผลคูณ เช่น ABC + AC +BC 

*ให้เขียน Boolean expression ในรูปผลคูณของ input ใดที่ทำให้ให้ Output เป็น 1

จากน้ันเขียน Boolean expression ในรูปของการบวกกันของผลคูณเหล่าน้ัน

แปลง Boolean expression เป็น Logic gates

Product ‐‐> AND Gate 
SUM ‐‐> OR Gate

วงจรที่ได้ 

วงจรนี้ยังดูซับซ้อนอนมากในการ implement 

......... แต่เรานสามารถลดรูปลงได้โดยใช้เทคนิคของ Boolean Algebra

Boolean Algebraic Identities - เอกลักษณ์ของบูลีน

Boolean Algebraic Identities - เอกลักษณ์ของบูลีน

Boolean Algebraic Properties - คุณสมบัติของบูลีน

การลดรูปโดยใช้กฎของบูลีน

มาลองใช้กฎบูลีนเหล่านี้ลดรูปวงจรนี้กัน

วิธีการทำ

เมื่อลดรูปแล้ววงจรที่ได้คืออ .....

Product-of-Sums 

คือ การที่ ดู output เป็น 0 และจาก logic 0  ใน sop จะมีเครื่องหมายขีดอยู่บนหัว แต่ใน  Pos กลับกลาบเป็น อักษรธรรมดา แล้วการหานั้นก็เหมือนรูปด้านบนคับ จะเอาผลรวมของ input  มาคูณกันของ output ที่เป็น 0

**ความรู้เพิ่มเติม sop และ pos***

• เขียนในรูปของผลบวกของผลคูณ (Sum of Product) หมายถึงการ OR กันระหว่างตัวแปรที่ AND เช่น

f(A, B, C)    =   A.B.C + A.B.C + A.B.C

f(A,B,C,D)    =   A.B  +  A.B.C  +  A.B.C.D  + A.B.C.D

• เขียนในรูปของผลคูณของผลบวก (Product of Sum) หมายถึง การ AND กันระหว่างตัวแปรที่ OR เช่น

f(A,B,C)     =   (A + B + C).(A + B + C).(A + B + C)

f(A,B,C,D)     =   (A + B).(A + B + C).(A + B + C + D).(A + B + C + D)

Canonical Form สำหรับ Boolean หรือ Switching Function ที่เขียนอยู่ในรูปของ Sum of Product หรือ Product of Sum โดยที่แต่ละ Combination มีตัวแปรอยู่เต็มจำนวน ถ้าเขียนอยู่ในรูปของ Product of Sum เรียกว่า Canonical Product of Sum Form และถ้าเขียนอยู่ในรูปของ Sum of Product ก็เรียกว่า Canonical Sum of Product Form  ก่อนที่เราจะเขียน Function ทั้งสองรูปแบบนี้ควรทำความเข้าใจความหมายของ Minterm และ Maxterm เสียก่อน

Minterm หมายถึง เทอมใดเทอมหนึ่งของเทอมผลคูณของ Function ที่มีตัวแปร n ตัว ประกอบด้วยตัวแปรทั้ง n ตัวโดยที่ตัวแปรแต่ละตัวเกิดขึ้น 1 ครั้ง ในรูปของ Complement ก็ได้เช่น Function ที่มีตัวแปร 3 ตัว คือ

  A,B,C มี Minterm  คือ

A.B.C, A.B.C, A.B.C, A.B.C, A.B.C, A.B.C, A.B.C, A.B.C

Maxterm หมายถึง เทอมใดเทอมหนึ่งของเทอมผลบวกของ Function ที่มีตัวแปร n ตัว ประกอบด้วยตัวแปรทั้ง n ตัวนั้น โดยที่ตัวแปรแต่ละตัวเกิดขึ้น 1 ครั้งในรูปปกติ หรือในรูปของ Complement ก็ได้ เช่น Function ที่มีตัวแปร 3 ตัว คือ 

A,B,C  มี Maxterm คือ

A + B + C, A + B + C, A + B + C, A + B + C, A + B + C, A + B + C, A + B + C, A + B + C

ตัวอย่าง

วิดีโอ

Week2-Binary Arithmetic

การบวก ลบ เลขฐาน 2

          0+0 = 0

          1+0 = 1

          0+1=1

          1+1=10

          1+1+1=11

ได้รู้เกี่ยวกับการบวกเลข ฐาน2 ลบ เลข ฐาน 2

การบวกเลขฐาน 2 หลังการง่าย คือ ให้ดูการบวกเลขด้านล่างแล้วนำไปใช้ สมมติว่า ต้องการ 1001+1100

1

1001

      +

1100

10101

การบวกนั้นเมื่อ  เจอเลขให้ทดตามที่ตารางข้างบน การบวกเลขฐานสองนั้นไม่ได้ยากมากแต่การลบของเลขฐานสองนั้นจะมีวิธีคิดที่แตกต่างกับการบวกอยู่ หลักคือให้บสกค่าลบแทน 

ตัวอย่าง 7-5 คือ 7+(-5)  การกระทำแบบนี้ คือ  Compliment

Compliment คือ การกำหนดบิจซ้ายสุดให้เป็นลบ

การทำ 2 compliment 

หลักการง่ายคือ แปลง 0 เป็น 1  แปลง 1 เป็น 0 แล้ว + 1 เข้าไปๆตามตัวอย่างที่ได้ๆ

Binary Overflow 

Binary Overflow  เกิดขึ้นได้โดยผลลัทธ์ของการกระทำเกินกว่า Data range ที่จำนวนบิตของตัวแปรจะแสดงค่าได้ 

คำตอบที่ได้นั้น เป็นแบบ 6 bit 2’s compliment มีค่า ตั้งแต่ -32 ถึง +31

ข้อควรคำนึงเมื่อบิตแรก เป็น 1 นั้นคือค่า-ไม่ใช่ค่า+ เมื่อเป็น 0 ก็ คือ+ นั้นเอง

เมื่อเพิ่ม bit ที่ 7 ให้สังเกตุง่ายคือ เลขหน้าสุด 

จะเห็นได้ว่า หน้าสุด เป็น 0 ค่าออกมาเป็น + แค่เมื่อ ค่าออกมาเป็นเลข 1 จะได้ผลลัพธ์เป็น +

- Half Adder / Full Adder

Half adder

ใน video LEDซ้าย คือ AND Gate และ LEDขวาคือ exclusive or gate 

Week 1

สรุปสิ่งที่ได้เรียนรู้ใน week1

-ความแตกต่าง Analog & Digital
-AND Gate
-TTL: Transistor–Transistor Logic
-CMOS: Complementary Metal Oxide Semiconductor
-ข้อดีข้อเสียของ TTL และ CMOS
-Digital IC
-ทดลองต่อวงจรด้วยบอร์ดทดลอง NX-100